A practice for Calculus final exam
本文最后更新于：8 个月前
一、选择题
1、马鞍面 \(z=x y\) 被圆柱面 \(x^{2}+y^{2}=1\) 所截，截得的有界部分曲面的面积为 \((B)\)
\(\dfrac{1}{3} \pi(2 \sqrt{2}+1)\)
\(\dfrac{2}{3} \pi(2 \sqrt{2}-1)\)
\(\dfrac{1}{3} \pi(2 \sqrt{2}-1)\)
\(\dfrac{2}{3} \pi(\sqrt{2}-1)\)
2、设曲线 \(L\) 为从点 \(A(-1,1)\) 沿曲线 \(y=x^{2}\) 到点 \(B(0,0)\) 再沿直线 \(y=0\) 到点 \(C(2,0)\) 的路径，则 \(\displaystyle \int_{L}\left(12 x+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-\cos y\right) \mathrm{d} y=\) \((A)\)
\(20+\mathrm{e}+\sin 1\)
\(2 \mathrm{e}+\sin 1\)
\(10+\mathrm{e}^{2}+\sin 1\)
\(\mathrm{e}+\sin 1\)
3、幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-1)^{n}\) 的收敛域为 \((B)\)
\([0,2]\)
\([0,2)\)
\((0,1)\)
\([0,1]\)
4、设 \(f\) 连续, 交换累次积分的次序 \(\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\) \((B)\)
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{dy} \int_{y}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x\)
\(\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x\)
\(\displaystyle \int_{0}^{x} \mathrm{dy} \int_{1}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x\)
5、设 \(L\) 是球面 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) 与平面 \(x+y+z=0\) 的交线，则 \(\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} l=\) \((C)\)
\(2 \pi\)
\(\pi\)
\(\displaystyle \frac{2}{3} \pi\)
\(\displaystyle \frac{1}{2} \pi\)
6、级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n !}\) 的收敛性为 \((C)\)
条件收敛
发散
绝对收敛
7、设 \(\Omega\) 为由圆柱面 \(x^{2}+y^{2}=1\), 锥面 \(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) 和平面 \(z=0\) 所围成的空间有界区域，则三重积分 \(\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\) \((A)\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)
\(\pi\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
2
二、填空题
8、设 \(2 \pi\) 周期函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}4 ; x \in[-\pi, 0) \\ 0 ; x \in[0, \pi)\end{array}\right.\) 的形式 Fourier 级数的和函数为 \(S(x)\) ，则 \(S(0)=\stackrel{\Large 2}{\_\_\_\_\_\_}\)
9、若 \((x+3 y) \mathrm{d} x+(k x+y) \mathrm{d} y=0\) 为全微分方程，则常数 \(k=\stackrel{\Large 3}{\_\_\_\_\_\_}\)
10、柱面 \(x^{2}+y^{2}=2 x\) 夹在锥面 \(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) 和平面 \(z=0\) 之间部分的面积为 \(\stackrel{\Large 8}{\_\_\_\_\_\_}\)
11、设 \(S\) 为单位球面 \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=1\) ，则 \(\dfrac{1}{\pi} \displaystyle \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S=\stackrel{\Large 24}{\_\_\_\_\_\_}\)
12、设 \(\overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=(y z, z x, x y)\) ，则 \(\|\operatorname{rot} \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)\|=\stackrel{\Large 0}{\_\_\_\_\_\_}\)
13、封闭曲线 \(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2\left(x^{2}-y^{2}\right)(x \geq 0)\) 所围区域的面积为 \(\stackrel{\Large 1}{\_\_\_\_\_\_}\)
14、设 \(L^{+}\)为逆时针旋转的椭圆 \(x^{2}+4 y^{2}=1\) ，则 \(\displaystyle \oint_{L^{+}} \frac{x^{2} \mathrm{~d} x+y^{3} \mathrm{~d} y}{x^{2}+4 y^{2}}=\stackrel{\Large 0}{\_\_\_\_\_\_}\)
15、设 \(L: x^{2}+y^{2}=1\) ，则 \(\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{L}(x+y)^{2} \mathrm{~d} l=\stackrel{\Large 2}{\_\_\_\_\_\_}\)
16、设曲面 \(\mathrm{S}^{+}: z=1\left(x^{2}+y^{2} \leq 1\right)\) ，方向向上。则 \(\displaystyle \frac{1}{\pi} \iint_{\mathrm{S}^{+}} x \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{d} z+y \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{d} x+z \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{d} y=\stackrel{\Large 1}{\_\_\_\_\_\_}\)
17、设 \(f(x)\) 是以 2 为周期的周期函数， \(f(x)=x ， x \in[0,1]\) 。若 \(f(x)\) 的形式Fourier级数为 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x\) ，则 \(5 \pi b_{5}=\stackrel{\Large 2}{\_\_\_\_\_\_}\)
18、设 \(f(x, y)=x^{2} y^{2}\) ，则在点 \((1,1)\) 处， \(\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)=\stackrel{\Large 4}{\_\_\_\_\_\_}\)
19、记 \(L^{+}\)为逆时针旋转的有向封闭曲线 \(|x|+|y|=1\) ，则 \(\displaystyle \frac{1}{\pi} \oint_{L^{+}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=\stackrel{\Large 2}{\_\_\_\_\_\_}\)
20、设 \(L^{+}\)为从 \((0,0)\) 点到 \((1,2)\) 点的有向线段，则 \(\displaystyle \int_{L^{+}} x y^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} y=\stackrel{\Large 2}{\_\_\_\_\_\_}\)
三、主观题
1、设 \(\Omega\) 为由 \(z=1-\left(x^{2}+y^{2}\right)\) 和 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) 围成的空间有界区域，求 \(\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\) \(\stackrel{\ \dfrac{\pi}{12}}{\_\_\_\_\_\_}\)
2、证明函数项级数 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k^{2} \mathrm{e}^{-k x}\) 的和函数 \(S(x)\) 在其收敛域内连续可微。